Logika Matematika Dasar: Pernyataan, Tabel Kebenaran, Kesimpulan

Logika matematika mempelajari cara menilai benar-salahnya pernyataan dan cara menarik kesimpulan yang sah. Topik ini mungkin terdengar abstrak, tetapi dipakai di mana-mana: dalam pembuktian matematika, dalam soal penalaran TIU dan UTBK, dalam kontrak dan aturan, hingga dalam setiap baris kode komputer yang berisi "jika… maka…".

Artikel ini membahas pernyataan dan negasinya, empat operasi logika beserta tabel kebenarannya, ekuivalensi yang paling sering dipakai, kuantor "semua" dan "ada", serta pola penarikan kesimpulan yang sah dan yang menjebak.

Pernyataan dan negasi

Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar (B) atau salah (S), tetapi tidak keduanya.

• "Jakarta adalah ibu kota Jawa Barat." — pernyataan (salah).
• "$7$ adalah bilangan prima." — pernyataan (benar).
• "Kerjakan soal nomor 3." — bukan pernyataan (perintah).
• "$x + 2 = 5$." — bukan pernyataan, melainkan kalimat terbuka: nilainya bergantung pada $x$.

Negasi (ingkaran) membalik nilai kebenaran. Negasi dari $p$ ditulis $\neg p$ (atau $\sim p$). Negasi dari "Semua siswa hadir" adalah "Ada siswa yang tidak hadir" — bukan "Semua siswa tidak hadir". Kesalahan menegasikan kalimat berkuantor seperti ini sangat sering terjadi.

Empat operasi logika

Tabel kebenaran

Konjungsi dan disjungsi punya padanan fisik yang mudah diingat: rangkaian listrik seri dan paralel.

Memahami implikasi lewat janji

Baris yang paling sering membingungkan adalah implikasi bernilai benar ketika $p$ salah. Bayangkan janji: "Jika nilaimu di atas 90, maka kamu kuajak nonton."

• Nilai di atas 90 dan diajak nonton: janji ditepati (B).
• Nilai di atas 90 tetapi tidak diajak: janji dilanggar (S).
• Nilai tidak di atas 90 lalu diajak atau tidak diajak: janji tidak dilanggar, karena syaratnya memang tidak terpenuhi (B).

Satu-satunya cara implikasi salah adalah sebab terjadi tetapi akibat tidak terjadi.

Ekuivalensi yang paling sering dipakai

Dua pernyataan majemuk disebut ekuivalen jika tabel kebenarannya selalu sama.

Dari implikasi $p \Rightarrow q$ juga lahir dua bentuk yang tidak ekuivalen dengannya: konvers $q \Rightarrow p$ dan invers $\neg p \Rightarrow \neg q$. "Jika hujan, jalan basah" benar, tetapi konversnya "jika jalan basah, maka hujan" belum tentu benar — jalan bisa basah karena disiram.

Contoh soal 1: negasi implikasi

Tentukan negasi dari "Jika harga naik, maka permintaan turun."

Pembahasan. Dengan $\neg(p \Rightarrow q) \equiv p \wedge \neg q$: "Harga naik dan permintaan tidak turun." Jawaban "Jika harga tidak naik, maka permintaan tidak turun" adalah invers, bukan negasi.

Contoh soal 2: De Morgan

Tentukan negasi dari "Rina rajin dan pintar."

Pembahasan. $\neg(p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q$: "Rina tidak rajin atau tidak pintar."

Kuantor: "semua" dan "ada"

• Kuantor universal ($\forall$): "untuk semua". Contoh: "Semua bilangan genap habis dibagi 2."
• Kuantor eksistensial ($\exists$): "ada" atau "beberapa". Contoh: "Ada bilangan prima yang genap." (Benar: 2.)

Negasinya saling bertukar:

$$\neg\big(\forall x,\ P(x)\big) \equiv \exists x,\ \neg P(x) \qquad\qquad \neg\big(\exists x,\ P(x)\big) \equiv \forall x,\ \neg P(x)$$

Negasi dari "Semua peserta lulus" adalah "Ada peserta yang tidak lulus". Negasi dari "Ada siswa yang terlambat" adalah "Semua siswa tidak terlambat" (tidak ada yang terlambat).

Penarikan kesimpulan yang sah

Contoh soal 3

Premis 1: Jika siswa rajin berlatih, maka ia siap ujian. Premis 2: Jika siswa siap ujian, maka ia tenang. Premis 3: Budi tidak tenang. Kesimpulan?

Pembahasan. Premis 1 dan 2 dengan silogisme menghasilkan "Jika siswa rajin berlatih, maka ia tenang". Dengan premis 3 dan modus tollens: Budi tidak rajin berlatih.

Logika dalam teknologi

Setiap kondisi dalam program komputer adalah logika matematika. Operator &&, ||, dan ! di banyak bahasa pemrograman adalah konjungsi, disjungsi, dan negasi; perintah if adalah implikasi yang dijalankan mesin. Rangkaian digital di dalam prosesor dibangun dari gerbang logika yang bekerja persis seperti tabel kebenaran di atas. Hubungannya dibahas lebih jauh di artikel berpikir komputasional dan matematika untuk kuliah informatika.

Latihan mandiri

1. Tentukan nilai kebenaran "$2 + 3 = 6$ atau $5$ bilangan prima".
2. Tentukan negasi dari "Semua siswa membawa kalkulator".
3. Tentukan kontraposisi dari "Jika sebuah bilangan habis dibagi 4, maka bilangan itu genap".
4. Premis: "Jika lampu menyala, maka ada arus listrik" dan "Tidak ada arus listrik". Kesimpulan?

Ringkasan

• Pernyataan bernilai benar atau salah; negasi membalik nilainya.
• Konjungsi benar jika keduanya benar, disjungsi benar jika salah satu benar, implikasi hanya salah ketika sebab benar dan akibat salah.
• Kontraposisi ekuivalen dengan implikasi; konvers dan invers tidak.
• Negasi kuantor menukar "semua" dan "ada".
• Modus ponens, modus tollens, dan silogisme adalah pola sah; menegaskan akibat dan menyangkal sebab tidak sah.

Logika adalah bab pertama di course Matematika Diskrit, sekaligus fondasi pembuktian di seluruh matematika.