Peluang dan Kombinatorika: Permutasi, Kombinasi, dan Contoh Soal

Peluang dan kombinatorika sering menjadi topik yang membuat siswa ragu: kapan memakai permutasi, kapan kombinasi, dan bagaimana keduanya berhubungan dengan menghitung peluang. Rumusnya sendiri pendek; yang sulit adalah memilih rumus yang tepat. Kuncinya ada di satu pertanyaan sederhana yang sering terlewat sebelum mulai menghitung.

Artikel ini membahas kaidah pencacahan, permutasi (termasuk unsur sama dan siklis), kombinasi, ruang sampel, peluang kejadian majemuk, frekuensi harapan, dan kesalahan yang paling sering terjadi di soal ujian sekolah, TKA, maupun UTBK.

Kaidah pencacahan: dasar dari semuanya

Sebelum permutasi dan kombinasi, ada satu prinsip yang menjadi fondasinya: aturan perkalian. Jika langkah pertama bisa dilakukan dengan $m$ cara dan langkah kedua dengan $n$ cara, maka keduanya bersama-sama bisa dilakukan dengan $m \times n$ cara.

• 3 kemeja dan 2 celana menghasilkan $3 \times 2 = 6$ pasangan pakaian.
• PIN 4 digit (angka boleh berulang) punya $10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4$ kemungkinan.
• Jika angka tidak boleh berulang, banyaknya $10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$.

Ada juga aturan penjumlahan: jika pilihan berasal dari dua kelompok yang tidak beririsan, banyak caranya dijumlahkan. Misalnya memilih satu buku dari 4 novel atau 3 komik ada $4 + 3 = 7$ cara.

Faktorial

Hasil kali $n \times (n - 1) \times \cdots \times 2 \times 1$ ditulis $n!$ (dibaca "$n$ faktorial"). Misalnya $5! = 120$. Disepakati $0! = 1$, karena ada tepat satu cara menyusun nol objek. Faktorial menghitung banyak cara menyusun $n$ objek berbeda dalam satu baris.

Pertanyaan kunci: apakah urutan penting?

Permutasi dan kombinasi sama-sama menghitung banyak cara memilih $r$ objek dari $n$ objek. Bedanya hanya satu: apakah urutan pemilihan diperhitungkan atau tidak.

• Permutasi dipakai jika urutan penting. Memilih ketua dan sekretaris dari A dan B: "A ketua, B sekretaris" berbeda dari "B ketua, A sekretaris".
• Kombinasi dipakai jika urutan tidak penting. Memilih 2 orang untuk tim: tim $\{A, B\}$ sama dengan tim $\{B, A\}$.

Permutasi

Permutasi $r$ objek dari $n$ objek berbeda:

$$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}$$

Rumus ini tidak lain adalah aturan perkalian: posisi pertama punya $n$ pilihan, posisi kedua $n - 1$, dan seterusnya sampai $r$ posisi.

Contoh soal 1: memilih pengurus

Dari 8 calon akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara. Berapa banyak susunan pengurus yang mungkin?

Pembahasan. Jabatan berbeda, jadi urutan penting: $P(8, 3) = 8 \times 7 \times 6 = 336$ susunan.

Permutasi dengan unsur yang sama

Jika ada objek yang identik, susunan yang hanya menukar objek identik tidak dihitung berbeda. Untuk $n$ objek dengan $k_1, k_2, \dots$ objek yang sama:

$$P = \frac{n!}{k_1!\,k_2!\cdots}$$

Kata MATEMATIKA terdiri atas 10 huruf dengan M (2), A (3), T (2), dan E, I, K masing-masing satu. Banyak susunan hurufnya:

$$\frac{10!}{2!\,3!\,2!} = \frac{3.628.800}{24} = 151.200$$

Permutasi siklis

Jika $n$ objek disusun melingkar, satu objek dijadikan patokan karena memutar seluruh susunan tidak menghasilkan susunan baru. Banyaknya $(n - 1)!$. Enam orang yang duduk mengelilingi meja bundar dapat disusun dalam $5! = 120$ cara.

Kombinasi

Kombinasi $r$ objek dari $n$ objek berbeda:

$$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$

Kombinasi adalah permutasi yang dibagi $r!$, karena setiap kelompok $r$ objek muncul $r!$ kali dalam permutasi (sebanyak cara menyusun ulang anggotanya).

Contoh soal 2: memilih tim campuran

Dari 5 siswa putra dan 4 siswi putri akan dipilih tim beranggotakan 2 putra dan 2 putri. Berapa banyak tim yang mungkin?

Pembahasan. Pilih putra dan putri secara terpisah, lalu kalikan (aturan perkalian):

$$C(5, 2) \times C(4, 2) = 10 \times 6 = 60 \text{ tim}$$

Ruang sampel dan peluang

Ruang sampel $S$ adalah himpunan semua hasil yang mungkin, dan kejadian $A$ adalah himpunan bagiannya. Jika setiap hasil sama mungkinnya:

$$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}, \qquad 0 \le P(A) \le 1$$

Untuk dua dadu, ruang sampelnya 36 pasangan. Tabel berikut menunjukkan jumlah mata dadu untuk setiap pasangan — dan mengapa jumlah 7 paling sering muncul.

Untuk percobaan bertahap, diagram pohon membantu mendaftar ruang sampel tanpa ada yang terlewat. Melempar koin tiga kali menghasilkan $2^3 = 8$ hasil.

Komplemen: senjata untuk soal "minimal satu"

Peluang kejadian tidak $A$ adalah $P(A') = 1 - P(A)$. Ini sangat berguna untuk soal "minimal satu". Misalnya, peluang muncul minimal satu mata 6 pada pelemparan dua dadu:

$$P(\text{minimal satu } 6) = 1 - P(\text{tidak ada } 6) = 1 - \frac{5 \times 5}{36} = \frac{11}{36}$$

Contoh soal 3: peluang dengan kombinasi

Sebuah kantong berisi 5 kelereng merah dan 3 kelereng biru. Diambil 2 kelereng sekaligus. Tentukan peluang (a) keduanya merah, (b) satu merah dan satu biru.

Pembahasan. Banyak cara mengambil 2 dari 8 kelereng: $C(8, 2) = 28$.

• (a) $P = \dfrac{C(5, 2)}{28} = \dfrac{10}{28} = \dfrac{5}{14}$
• (b) $P = \dfrac{C(5, 1) \times C(3, 1)}{28} = \dfrac{15}{28}$

Perhatikan bahwa pembilang dan penyebut sama-sama dihitung dengan kombinasi.

Peluang kejadian majemuk

Contoh soal 4: kartu remi

Dari satu set kartu remi (52 kartu) diambil satu kartu. Berapa peluang terambil kartu As atau kartu hati?

Pembahasan. Kedua kejadian tidak saling lepas karena ada As hati. Maka:

$$P = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$$

Contoh soal 5: tanpa pengembalian

Dua kartu diambil berturut-turut tanpa pengembalian. Berapa peluang keduanya As?

Pembahasan. Setelah satu As terambil, tersisa 3 As dari 51 kartu:

$$P = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$$

Frekuensi harapan

Jika percobaan diulang $n$ kali, banyak kejadian $A$ yang diharapkan muncul adalah $F_h = n \times P(A)$. Dadu yang dilempar 120 kali diharapkan memunculkan mata 6 sebanyak $120 \times \frac{1}{6} = 20$ kali. "Diharapkan" berarti rata-rata dalam jangka panjang, bukan jaminan untuk satu rangkaian percobaan.

Kesalahan yang sering terjadi

1. Tidak bertanya "apakah urutan penting?" sebelum memilih rumus.
2. Lupa membagi unsur yang sama pada permutasi huruf atau objek identik.
3. Tidak membedakan dengan dan tanpa pengembalian.
4. Menjumlahkan peluang kejadian yang tidak saling lepas tanpa mengurangi irisannya.
5. Menghitung "minimal satu" satu per satu padahal komplemen jauh lebih cepat dan minim risiko.

Latihan mandiri

1. Berapa banyak cara menyusun 3 buku berbeda di rak?
2. Berapa banyak cara memilih 3 buku dari 5 buku untuk dibawa pulang?
3. Berapa banyak susunan huruf dari kata KAKAK?
4. Dua dadu dilempar. Berapa peluang jumlah matanya 9?
5. Sebuah kotak berisi 4 bola merah dan 6 bola putih. Diambil 3 bola sekaligus. Berapa peluang terambil tepat 2 bola merah?

Ringkasan

• Aturan perkalian adalah fondasi semua teknik pencacahan.
• Permutasi untuk susunan yang memperhatikan urutan; kombinasi untuk kelompok yang tidak memperhatikan urutan.
• Peluang = banyak hasil yang diinginkan dibagi banyak seluruh hasil, dengan cara hitung yang konsisten.
• Komplemen mempercepat soal "minimal satu"; diagram pohon dan tabel ruang sampel mencegah hasil terlewat.
• Bedakan kejadian saling lepas, saling bebas, dan bersyarat sebelum memilih aturan.

Soal peluang dan kombinatorika sering muncul di TKA dan UTBK dalam bentuk cerita. Latih kemampuan mengenali "urutan penting atau tidak" dengan soal bertingkat di Numekara Practice, atau pelajari materinya secara runtut di course Matematika Utama (SMA).