Barisan dan Deret Aritmetika vs Geometri: Rumus dan Contoh Soal

Barisan aritmetika dan geometri sering tertukar karena soal jarang memberi tahu langsung "ini aritmetika" atau "ini geometri" — siswa harus mengenali polanya sendiri dari beberapa suku pertama. Kabar baiknya, cara membedakan keduanya sederhana begitu tahu apa yang harus dicari. Setelah polanya dikenali, rumus suku ke-$n$ dan jumlah deret tinggal dipakai — bahkan bisa diturunkan sendiri tanpa hafalan.

Di artikel ini kita membahas perbedaan barisan dan deret, cara mengenali pola aritmetika dan geometri, rumus beserta asal-usulnya (termasuk trik terkenal Gauss), deret geometri tak hingga, penerapan pada bunga tabungan, serta contoh soal dan latihan beserta kuncinya.

Barisan dan deret: apa bedanya?

Barisan adalah daftar bilangan yang tersusun menurut pola tertentu, misalnya $2, 5, 8, 11, \dots$. Setiap bilangan disebut suku, dan suku ke-$n$ ditulis $U_n$. Deret adalah hasil penjumlahan suku-suku barisan itu: $2 + 5 + 8 + 11 = 26$. Jumlah $n$ suku pertama ditulis $S_n$.

Perbedaan notasi ini penting: banyak jawaban salah karena soal menanyakan $S_{10}$ (jumlah sepuluh suku) tetapi yang dihitung $U_{10}$ (suku kesepuluh).

Cara membedakan dari polanya

Pertanyaan kuncinya: apakah selisih antarsuku tetap, atau rasionya yang tetap?

• Barisan aritmetika: selisih dua suku berurutan selalu sama, disebut beda ($b$). Contoh: $2, 5, 8, 11, \dots$ — setiap suku bertambah $3$.
• Barisan geometri: hasil bagi dua suku berurutan selalu sama, disebut rasio ($r$). Contoh: $2, 4, 8, 16, \dots$ — setiap suku dikali $2$.

Pola ini menghasilkan perilaku yang sangat berbeda. Barisan aritmetika tumbuh linear (bertambah dengan jumlah yang sama), sedangkan barisan geometri dengan $r \gt 1$ tumbuh eksponensial (bertambah makin cepat).

Barisan aritmetika

Dari suku pertama $a$, untuk sampai ke suku ke-$n$ kita menambahkan beda sebanyak $(n - 1)$ kali — bukan $n$ kali, karena suku pertama sudah "gratis":

$$U_n = a + (n - 1)b$$

Contoh soal 1: suku ke-20

Tentukan suku ke-20 dari barisan $7, 11, 15, \dots$

Pembahasan. $a = 7$, $b = 4$, sehingga $U_{20} = 7 + 19 \cdot 4 = 83$.

Contoh soal 2: mencari a dan b dari dua suku

Suku ke-3 sebuah barisan aritmetika adalah $10$ dan suku ke-8 adalah $25$. Tentukan suku pertama dan bedanya.

Pembahasan. Dari suku ke-3 ke suku ke-8 ada $5$ langkah, sehingga $5b = 25 - 10 = 15$ dan $b = 3$. Lalu $U_3 = a + 2b = 10$ memberi $a = 4$. Barisannya $4, 7, 10, 13, \dots$

Deret aritmetika dan trik Gauss

Konon, Carl Friedrich Gauss kecil diminta gurunya menjumlahkan $1 + 2 + \cdots + 100$. Ia menjawab dalam hitungan detik: pasangkan suku pertama dengan terakhir ($1 + 100$), suku kedua dengan kedua dari akhir ($2 + 99$), dan seterusnya. Setiap pasangan berjumlah $101$, dan ada $50$ pasangan, sehingga jumlahnya $5050$.

Trik yang sama terlihat jelas secara visual: tulis deretnya dua kali — sekali biasa, sekali dibalik — maka keduanya membentuk persegi panjang.

Untuk deret aritmetika umum, ide yang sama menghasilkan:

$$S_n = \frac{n}{2}\big(U_1 + U_n\big) = \frac{n}{2}\big(2a + (n - 1)b\big)$$

Bentuk pertama sangat praktis: jumlah = banyak suku × rata-rata suku pertama dan terakhir.

Contoh soal 3: jumlah kelipatan 3

Hitung jumlah semua bilangan kelipatan 3 antara 1 dan 100.

Pembahasan. Barisannya $3, 6, 9, \dots, 99$. Banyak suku: $n = \frac{99 - 3}{3} + 1 = 33$. Maka:

$$S_{33} = \frac{33}{2}(3 + 99) = 33 \cdot 51 = 1683$$

Barisan geometri

Dari suku pertama $a$, untuk sampai ke suku ke-$n$ kita mengalikan rasio sebanyak $(n - 1)$ kali:

$$U_n = a \cdot r^{n - 1}$$

Polanya sejajar dengan barisan aritmetika: penjumlahan berulang menjadi perkalian berulang, sehingga $(n - 1)b$ berubah menjadi $r^{n-1}$.

Contoh soal 4: mencari rasio dari dua suku

Suku ke-2 sebuah barisan geometri adalah $6$ dan suku ke-5 adalah $162$. Tentukan suku pertama dan rasionya.

Pembahasan. Dari suku ke-2 ke suku ke-5 ada tiga kali perkalian: $r^3 = \frac{162}{6} = 27$, sehingga $r = 3$ dan $a = \frac{6}{3} = 2$. Barisannya $2, 6, 18, 54, 162, \dots$

Deret geometri

Tulis $S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}$, lalu kalikan kedua ruas dengan $r$. Ketika $rS_n$ dikurangi $S_n$, hampir semua suku saling menghapus dan hanya tersisa $ar^n - a$. Hasilnya:

$$S_n = \frac{a\left(r^n - 1\right)}{r - 1}, \qquad r \neq 1$$

Bentuk $\frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ setara dan lebih nyaman dipakai ketika $r \lt 1$, karena pembilang dan penyebutnya sama-sama positif.

Contoh soal 5: enam suku pertama

Hitung $2 + 6 + 18 + \cdots$ sampai 6 suku.

Pembahasan. $a = 2$, $r = 3$, $n = 6$: $S_6 = \frac{2\left(3^6 - 1\right)}{3 - 1} = 3^6 - 1 = 728$.

Deret geometri tak hingga

Jika rasionya berada di antara $-1$ dan $1$, suku-sukunya semakin kecil menuju nol, sehingga jumlah tak hingga suku tetap punya nilai berhingga. Ketika $n \to \infty$, $r^n \to 0$, dan rumus jumlah menjadi:

$$S_\infty = \frac{a}{1 - r}, \qquad -1 \lt r \lt 1$$

Gambar berikut menunjukkan mengapa $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$ tepat sama dengan $1$: setiap potongan mengisi setengah dari sisa ruang, sehingga persegi bersisi 1 terisi penuh tanpa pernah melebihi batasnya.

Contoh soal 6: bola memantul

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 meter. Setiap memantul, tingginya $\frac{3}{4}$ dari tinggi sebelumnya. Berapa panjang seluruh lintasan bola sampai berhenti?

Pembahasan. Lintasan turun pertama 10 meter. Setelah itu setiap pantulan terdiri atas lintasan naik dan turun yang sama panjang: $7{,}5 + 5{,}625 + \cdots$, masing-masing dua kali.

$$\text{Total} = 10 + 2 \cdot \frac{7{,}5}{1 - \frac{3}{4}} = 10 + 2 \cdot 30 = 70 \text{ meter}$$

Penerapan: bunga tunggal vs bunga majemuk

Misalkan kamu menabung Rp1.000.000 dengan bunga 5% per tahun.

• Bunga tunggal menambahkan Rp50.000 setiap tahun (dari modal awal saja). Saldonya $1{,}00$ juta, $1{,}05$ juta, $1{,}10$ juta, $1{,}15$ juta — barisan aritmetika.
• Bunga majemuk menghitung bunga dari saldo terakhir, sehingga saldo dikali $1{,}05$ setiap tahun. Setelah 3 tahun saldonya $1.000.000 \times 1{,}05^3 = 1.157.625$ — barisan geometri.

Selisihnya kecil di awal, tetapi membesar seiring waktu. Pola geometri yang sama muncul pada pertumbuhan populasi, peluruhan zat radioaktif, hingga penyebaran informasi di media sosial.

Kesalahan yang sering terjadi

1. Memakai $n$ alih-alih $(n - 1)$ pada rumus suku ke-$n$.
2. Tertukar antara $U_n$ dan $S_n$ — suku ke-$n$ dan jumlah $n$ suku adalah dua hal berbeda.
3. Salah menghitung banyak suku. Untuk barisan $4, 7, 10, \dots, 100$, banyak sukunya $\frac{100 - 4}{3} + 1 = 33$, bukan $32$.
4. Memakai $S_\infty$ ketika $|r| \ge 1$.
5. Mengabaikan rasio negatif. Barisan $3, -6, 12, -24$ adalah geometri dengan $r = -2$; tandanya bergantian.

Latihan mandiri

1. Tentukan suku ke-25 dari barisan $5, 9, 13, \dots$
2. Hitung jumlah 20 suku pertama dari $2, 5, 8, \dots$
3. Tentukan suku ke-6 dari barisan geometri $2, 6, 18, \dots$
4. Hitung $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \cdots$
5. Berapa banyak suku pada barisan $4, 7, 10, \dots, 100$?

Ringkasan

• Barisan adalah daftar bilangan berpola; deret adalah jumlah suku-sukunya.
• Aritmetika: selisih tetap, $U_n = a + (n - 1)b$, $S_n = \frac{n}{2}(U_1 + U_n)$.
• Geometri: rasio tetap, $U_n = ar^{n-1}$, $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$.
• Deret geometri tak hingga konvergen ke $\frac{a}{1 - r}$ hanya jika $-1 \lt r \lt 1$.
• Bunga tunggal mengikuti pola aritmetika, bunga majemuk mengikuti pola geometri.

Untuk melatih pengenalan pola dengan soal yang menyesuaikan tingkat kemampuanmu, coba Numekara Practice. Barisan dan deret juga sering muncul dalam bentuk soal deret angka di tes potensi; strateginya dibahas di artikel cara cepat mengerjakan deret angka TIU CPNS.