Persamaan Kuadrat: Rumus ABC, Diskriminan, dan Contoh Soal

Persamaan kuadrat sering diperkenalkan sebagai kumpulan rumus yang harus dihafal. Padahal, memahami mengapa setiap langkah bekerja membuat rumus itu jauh lebih mudah diingat — dan lebih mudah dipakai saat soal berubah bentuk, misalnya ketika persamaan kuadrat "bersembunyi" di dalam soal cerita, soal parameter, atau soal fungsi.

Di artikel ini kita membahas bentuk umum persamaan kuadrat, hubungannya dengan grafik parabola, tiga cara menyelesaikannya beserta kapan memakai masing-masing, cara membaca diskriminan, rumus jumlah dan hasil kali akar, serta kesalahan yang paling sering membuat jawaban meleset.

Bentuk umum dan cara membacanya

Persamaan kuadrat satu variabel selalu dapat ditulis sebagai:

$$ax^2 + bx + c = 0, \qquad a \neq 0$$

Nilai $a$, $b$, dan $c$ disebut koefisien. Syarat $a \neq 0$ penting: tanpa suku $x^2$, persamaannya menjadi linear. Bilangan yang memenuhi persamaan disebut akar atau penyelesaian.

Soal jarang langsung memberi bentuk umum. Misalnya $3x^2 = 5x - 2$ harus dipindahkan ke satu ruas lebih dulu menjadi $3x^2 - 5x + 2 = 0$, sehingga $a = 3$, $b = -5$, dan $c = 2$.

Persamaan kuadrat dan grafik parabola

Setiap persamaan kuadrat terkait dengan fungsi $y = ax^2 + bx + c$ yang grafiknya berbentuk parabola. Akar-akar persamaan adalah titik potong parabola dengan sumbu-$x$, karena di titik itu $y = 0$.

Beberapa fakta yang langsung terbaca dari koefisien:

• Jika $a \gt 0$ parabola terbuka ke atas, jika $a \lt 0$ terbuka ke bawah.
• Sumbu simetri berada di $x = -\frac{b}{2a}$, tepat di tengah kedua akar.
• Titik potong sumbu-$y$ adalah $(0, c)$.

Pada contoh di atas, $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$, sehingga sumbu simetri $x = 3$ dan puncaknya $(3, -4)$.

Cara 1: pemfaktoran

Jika ruas kiri dapat ditulis sebagai $(x - p)(x - q) = 0$, maka akarnya $x = p$ atau $x = q$. Alasannya sederhana: hasil kali dua bilangan bernilai nol hanya jika salah satunya nol.

Untuk $a = 1$, cari dua bilangan yang hasil kalinya $c$ dan jumlahnya $b$. Pada $x^2 - 6x + 5 = 0$, dua bilangan itu adalah $-1$ dan $-5$, sehingga $(x - 1)(x - 5) = 0$ dan akarnya $x = 1$ atau $x = 5$.

Contoh soal 1: pemfaktoran dengan a ≠ 1

Selesaikan $2x^2 + 7x + 3 = 0$.

Pembahasan. Cari dua bilangan yang hasil kalinya $a \cdot c = 6$ dan jumlahnya $b = 7$: bilangan itu $1$ dan $6$. Pecah suku tengah, lalu faktorkan per kelompok:

$$2x^2 + x + 6x + 3 = x(2x + 1) + 3(2x + 1) = (2x + 1)(x + 3) = 0$$

Akarnya $x = -\frac{1}{2}$ atau $x = -3$.

Cara 2: melengkapkan kuadrat

Setiap persamaan kuadrat dapat diubah menjadi bentuk $(x + m)^2 = n$. Idenya sangat visual: $x^2 + 6x$ bisa disusun sebagai persegi $x \times x$ ditambah dua persegi panjang $3 \times x$. Susunan itu hampir menjadi persegi besar — hanya kurang satu sudut berukuran $3 \times 3 = 9$.

Contoh soal 2: melengkapkan kuadrat

Selesaikan $x^2 + 6x - 7 = 0$.

Pembahasan. Pindahkan konstanta, lalu tambahkan $\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$ ke kedua ruas:

$$x^2 + 6x = 7 \quad\Rightarrow\quad x^2 + 6x + 9 = 16 \quad\Rightarrow\quad (x + 3)^2 = 16$$

Maka $x + 3 = 4$ atau $x + 3 = -4$, sehingga $x = 1$ atau $x = -7$. Jangan lupa tanda $\pm$ saat menarik akar kuadrat.

Dari melengkapkan kuadrat ke rumus ABC

Rumus ABC bukan rumus ajaib — ia adalah hasil melengkapkan kuadrat pada bentuk umum. Bagi kedua ruas dengan $a$, lalu tambahkan $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$:

$$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \quad\Rightarrow\quad x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Cara 3: rumus ABC

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Rumus ini selalu bekerja, termasuk ketika akarnya berbentuk akar irasional yang mustahil ditemukan dengan pemfaktoran.

Contoh soal 3: akar irasional

Selesaikan $2x^2 - 4x - 3 = 0$.

Pembahasan. Dengan $a = 2$, $b = -4$, $c = -3$:

$$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$$

Memilih cara yang tepat

Membaca diskriminan

Bagian di dalam akar, $D = b^2 - 4ac$, disebut diskriminan. Tanpa menghitung akarnya, $D$ sudah memberi tahu banyak hal:

Jika $D \gt 0$ dan merupakan bilangan kuadrat sempurna (1, 4, 9, 16, ...), akar-akarnya rasional — tanda bahwa persamaan itu bisa difaktorkan.

Contoh soal 4: soal parameter

Tentukan nilai $k$ agar $x^2 + kx + 9 = 0$ memiliki akar kembar.

Pembahasan. Akar kembar berarti $D = 0$: $k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 0$, sehingga $k^2 = 36$ dan $k = 6$ atau $k = -6$. Untuk $k = 6$, persamaannya $(x + 3)^2 = 0$ dengan akar kembar $x = -3$.

Jumlah dan hasil kali akar

Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar $ax^2 + bx + c = 0$, maka:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

Rumus ini sangat berguna ketika soal menanyakan bentuk simetris tanpa meminta akarnya satu per satu.

Contoh soal 5: bentuk simetris

Akar-akar $2x^2 - 6x + 1 = 0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Tentukan $x_1^2 + x_2^2$.

Pembahasan. $x_1 + x_2 = 3$ dan $x_1 x_2 = \frac{1}{2}$. Gunakan identitas aljabar:

$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9 - 1 = 8$$

Rumus yang sama juga dipakai untuk menyusun persamaan kuadrat. Persamaan dengan akar $2$ dan $-3$ adalah $x^2 - (2 + (-3))x + 2 \cdot (-3) = 0$, yaitu $x^2 + x - 6 = 0$.

Persamaan kuadrat dalam soal cerita

Sebuah kebun berbentuk persegi panjang memiliki panjang 3 meter lebih dari lebarnya, dan luasnya $40\ \text{m}^2$. Berapa ukurannya?

Misalkan lebarnya $x$. Maka $x(x + 3) = 40$, atau $x^2 + 3x - 40 = 0$. Pemfaktoran memberi $(x + 8)(x - 5) = 0$, sehingga $x = 5$ atau $x = -8$. Karena panjang tidak mungkin negatif, kebunnya berukuran $5 \times 8$ meter. Langkah terakhir — memeriksa kewajaran akar terhadap konteks — sama pentingnya dengan menghitung.

Kesalahan yang sering terjadi

1. Membagi kedua ruas dengan $x$. Pada $x^2 = 3x$, membagi dengan $x$ menghilangkan akar $x = 0$. Tulis $x^2 - 3x = 0$, lalu faktorkan menjadi $x(x - 3) = 0$.
2. Lupa tanda $\pm$. Dari $(x + 3)^2 = 16$ ada dua kemungkinan: $x + 3 = 4$ atau $x + 3 = -4$.
3. Salah tanda $b$ di rumus ABC. Jika $b = -4$, maka $-b = 4$.
4. Penyebut $2a$ hanya membagi akar. Penyebut $2a$ membagi seluruh pembilang $-b \pm \sqrt{D}$, bukan hanya bagian akarnya.
5. Tidak memeriksa konteks pada soal cerita, sehingga akar negatif ikut dijadikan jawaban panjang atau waktu.

Latihan mandiri

1. Selesaikan $x^2 - 7x + 12 = 0$.
2. Selesaikan $3x^2 + 5x - 2 = 0$.
3. Selesaikan $x^2 + 4x - 1 = 0$ dengan melengkapkan kuadrat.
4. Tentukan nilai $m$ agar $x^2 - 2mx + 4 = 0$ memiliki dua akar real berbeda.
5. Jika $x_1$ dan $x_2$ akar-akar $x^2 - 5x + 3 = 0$, tentukan $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$.

Ringkasan

• Ubah dulu ke bentuk umum $ax^2 + bx + c = 0$ sebelum memilih cara penyelesaian.
• Akar persamaan kuadrat adalah titik potong parabola dengan sumbu-$x$.
• Pemfaktoran paling cepat, melengkapkan kuadrat menjelaskan asal rumus, rumus ABC selalu berhasil.
• Diskriminan $D = b^2 - 4ac$ menunjukkan jenis akar tanpa menyelesaikan persamaan.
• Jumlah dan hasil kali akar ($-\frac{b}{a}$ dan $\frac{c}{a}$) menyelesaikan soal bentuk simetris dengan cepat.

Ingin melatih semua teknik ini dengan soal yang menyesuaikan kemampuanmu? Coba Numekara Practice, atau pelajari ulang materinya di course Matematika Utama (SMA).