SPLDV: Metode Substitusi, Eliminasi, Grafik, dan Contoh Soal

Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah salah satu topik aljabar yang paling sering dipakai — di sekolah, di soal TKA dan UTBK, maupun dalam kehidupan sehari-hari ketika dua besaran yang belum diketahui saling terkait. Soal seperti "harga 2 buku dan 3 pensil Rp21.000" adalah SPLDV yang menyamar sebagai soal belanja.

Artikel ini membahas arti penyelesaian SPLDV secara grafik, empat metode penyelesaian beserta kapan memakainya, cara mengenali jenis penyelesaian tanpa menghitung, cara menerjemahkan soal cerita, kesalahan umum, dan latihan beserta kuncinya.

Apa itu SPLDV?

SPLDV terdiri atas dua persamaan linear dengan dua variabel yang sama. Bentuk umumnya:

$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$$

Penyelesaiannya adalah pasangan $(x, y)$ yang memenuhi kedua persamaan sekaligus. Sepanjang artikel ini kita memakai contoh:

$$\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 2 \end{cases}$$

Makna grafik: titik potong dua garis

Setiap persamaan linear dua variabel digambarkan sebagai garis lurus. Semua titik pada garis pertama memenuhi persamaan pertama; semua titik pada garis kedua memenuhi persamaan kedua. Titik yang memenuhi keduanya adalah titik potongnya.

Metode grafik cocok untuk memahami konsep dan untuk soal dengan penyelesaian bilangan bulat. Kelemahannya: kurang teliti jika titik potongnya berupa pecahan.

Metode substitusi

Nyatakan satu variabel dari salah satu persamaan, lalu masukkan ke persamaan lain.

1. Dari $x + y = 7$ diperoleh $y = 7 - x$.
2. Substitusikan ke persamaan kedua: $2x - (7 - x) = 2$, sehingga $3x - 7 = 2$ dan $x = 3$.
3. Kembali ke $y = 7 - x$: $y = 4$.

Substitusi paling nyaman jika salah satu variabel sudah berkoefisien 1 atau $-1$.

Metode eliminasi

Samakan koefisien salah satu variabel, lalu jumlahkan atau kurangkan kedua persamaan agar variabel itu hilang.

Pada contoh kita, koefisien $y$ sudah berlawanan ($+1$ dan $-1$), sehingga cukup dijumlahkan:

$$(x + y) + (2x - y) = 7 + 2 \quad\Rightarrow\quad 3x = 9 \quad\Rightarrow\quad x = 3$$

Untuk mencari $y$, eliminasi $x$: kalikan persamaan pertama dengan 2 menjadi $2x + 2y = 14$, lalu kurangkan persamaan kedua: $3y = 12$, sehingga $y = 4$.

Metode gabungan (eliminasi–substitusi)

Cara paling efisien dan paling sering dipakai: eliminasi satu variabel untuk mendapatkan nilai pertama, lalu substitusikan nilai itu untuk mendapatkan nilai kedua. Setelah memperoleh $x = 3$ dari eliminasi, langsung substitusikan ke $x + y = 7$ untuk mendapatkan $y = 4$.

Metode determinan (untuk SMA)

Untuk sistem $a_1x + b_1y = c_1$ dan $a_2x + b_2y = c_2$, definisikan:

$$D = a_1b_2 - a_2b_1, \qquad D_x = c_1b_2 - c_2b_1, \qquad D_y = a_1c_2 - a_2c_1$$

Jika $D \neq 0$, maka $x = \frac{D_x}{D}$ dan $y = \frac{D_y}{D}$. Pada contoh kita: $D = 1 \cdot (-1) - 2 \cdot 1 = -3$, $D_x = 7 \cdot (-1) - 2 \cdot 1 = -9$, dan $D_y = 1 \cdot 2 - 2 \cdot 7 = -12$. Hasilnya $x = 3$ dan $y = 4$. Metode ini menjadi jembatan ke matriks dan aljabar linear.

Tiga kemungkinan penyelesaian

Dua garis di bidang hanya punya tiga kemungkinan hubungan:

Contoh: $2x + 4y = 6$ dan $x + 2y = 5$. Perbandingannya $\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = 2$, tetapi $\frac{6}{5} \neq 2$. Kedua garis sejajar, jadi tidak ada penyelesaian.

SPLDV dalam soal cerita

Langkahnya selalu sama: tentukan dua besaran yang belum diketahui sebagai variabel, lalu ubah dua informasi di soal menjadi dua persamaan.

Contoh soal 1: harga barang

Harga 2 buku dan 3 pensil Rp21.000, sedangkan harga 1 buku dan 2 pensil Rp12.000. Berapa harga satu buku dan satu pensil?

Pembahasan. Misalkan harga buku $b$ dan pensil $p$ (dalam rupiah):

$$\begin{cases} 2b + 3p = 21.000 \\ b + 2p = 12.000 \end{cases}$$

Dari persamaan kedua, $b = 12.000 - 2p$. Substitusikan: $2(12.000 - 2p) + 3p = 21.000$, sehingga $24.000 - p = 21.000$ dan $p = 3.000$. Maka $b = 6.000$. Harga buku Rp6.000 dan pensil Rp3.000.

Contoh soal 2: tiket masuk

Tiga tiket dewasa dan dua tiket anak seharga Rp190.000. Dua tiket dewasa dan empat tiket anak seharga Rp220.000. Berapa harga masing-masing tiket?

Pembahasan. Misalkan $d$ dan $a$ dalam ribu rupiah: $3d + 2a = 190$ dan $2d + 4a = 220$. Kalikan persamaan pertama dengan 2: $6d + 4a = 380$. Kurangkan persamaan kedua: $4d = 160$, sehingga $d = 40$. Dari $3 \cdot 40 + 2a = 190$ diperoleh $a = 35$. Tiket dewasa Rp40.000, tiket anak Rp35.000.

Kesalahan yang sering terjadi

1. Hanya mengalikan sebagian suku saat menyamakan koefisien. Seluruh suku, termasuk konstanta di ruas kanan, harus dikalikan.
2. Salah tanda saat mengurangkan. Mengurangkan persamaan berarti mengurangkan setiap suku: $-(-y) = +y$.
3. Berhenti setelah menemukan satu variabel. Penyelesaian SPLDV adalah pasangan $(x, y)$.
4. Tidak mengecek ke kedua persamaan.
5. Salah memilih variabel pada soal cerita, misalnya mencampur satuan rupiah dan ribu rupiah dalam satu persamaan.

Latihan mandiri

1. Selesaikan $x + 2y = 8$ dan $3x - y = 3$ dengan substitusi.
2. Selesaikan $2x + 3y = 12$ dan $4x - 3y = 6$ dengan eliminasi.
3. Tentukan banyak penyelesaian $2x + 4y = 6$ dan $x + 2y = 3$.
4. Keliling sebuah persegi panjang 30 cm, dan panjangnya 3 cm lebih dari lebarnya. Tentukan panjang dan lebarnya.

Ringkasan

• Penyelesaian SPLDV adalah pasangan $(x, y)$ yang memenuhi kedua persamaan — secara grafik, titik potong dua garis.
• Substitusi cocok jika ada koefisien 1; eliminasi cocok jika koefisien mudah disamakan; metode gabungan paling efisien.
• Perbandingan koefisien menentukan apakah garis berpotongan, sejajar, atau berimpit.
• Soal cerita diselesaikan dengan memilih dua variabel dan menerjemahkan dua informasi menjadi dua persamaan.
• Selalu cek jawaban ke kedua persamaan asli.

SPLDV dipelajari di course Matematika SMP dan muncul kembali di TKA Matematika SMP serta TKA Matematika (SMA). Kemampuan menerjemahkan soal cerita dibahas juga di artikel kenapa anak jago berhitung tapi sulit soal cerita.